+91 9553678686

వేగ గణితం - వర్గములు 


పోటీ పరీక్షలకు వేగ గణితం


ఉద్యోగాలకోసం, ఉన్నత విద్యావకాశాలకోసం అభ్యర్థులు ఆయా సంస్థలు పెట్టే పోటీ పరీక్షలలో మల్టిపుల్ చాయిస్ ప్రశ్నలకు జవాబులు ఇవ్వవలసి ఉంటుంది. ఆ ప్రశ్నలలో లెక్కలు, ఇంగ్లీష్, జనరల్ నాలెడ్జి, రీజనింగ్ అనే విభాగాలు ఉంటాయి. సహరి-కెరీర్ విభాగంలో పోటీ పరీక్షలకు తయారయే అభ్యర్థుల కోసం విలువైన సమాచారం అందిస్తాము.

గణిత సమస్యలను తక్కువ సమయంలో సాల్వ్ చేసే అభ్యర్థులకు మంచి రాంక్ వచ్చి మెరిట్ లో నిలిచే అవకాశం మిగిలిన వారికంటే ఎక్కువ. అందువలన ఈ వేగ-గణితం మీకు ఉపయోగపడుతుంది. దీనిలో అక్కడక్కడా వేదగణితం కూడా సందర్భానుసారం వాడుకుందాము.

ఇవి నేర్చుకోవడం సులభం. లెక్కలు చేసేటప్పుడు వాడుకోవడం కూడా చాలా సులభం. మొదటగా వర్గముల గురించి తెలుసుకుందాము. వీటినే స్క్వేర్స్ అంటారు ఆంగ్లంలో.

వర్గములు.


ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్య తో గుణిస్తే వచ్చేది ఆ సంఖ్య యొక్క వర్గము.

పోటీ పరీక్షలలో ఏదైనా సంఖ్య యొక్క వర్గము కనుక్కునే అవసరం రావొచ్చు. అన్ని సంఖ్యల వర్గములను ముందుగానే చదివి గుర్తు పెట్టుకోవడం సాధ్య పడదు. కానీ 1 నుంచి 25 వరకు ఉన్న సంఖ్యల వర్గములు గుర్తు పెట్టుకోవడం పెద్ద కష్టం కాదు. ప్రయత్నించండి. ఎందుకంటే అలా గుర్తు పెట్టుకుంటే తక్కిన సంఖ్యల వర్గములు ఎలా కనుక్కోవచ్చునో ఇప్పుడు తెలియచేస్తాను.

***26 నుంచి 125 వరకు ఏదైనా సంఖ్య తీసుకుంటే దాని వర్గము కనుక్కోవడం ఇప్పుడు నేర్చుకుందాము.***

మొదటగా 50 నుంచి 75 వరకు ఉన్న సంఖ్యల వర్గములను ఎలా తేలికగా కనుక్కోవచ్చో తెలియచేస్తాను.

స్టెప్-1. 50 నుంచి 75 వరకు ఉన్న సంఖ్యలకు 50 ని ప్రాతిపదికగా తీసుకోవాలి. 50 వర్గం 2500.

స్టెప్-2. ఇప్పుడు మనం వర్గం కనుక్కోవలసిన సంఖ్యను 50 నుంచి 75 లో ఎంచుకోండి. ఉదాహరణకు 51 అనుకోండి. దాని వర్గం కనుక్కోవాలి అంటే 51 మనం ప్రాతిపదిక గా తీసుకున్న 50 కంటే 1 ఎక్కువ అనేది గమనించండి.

స్టెప్-3 మనం వర్గం కనుక్కోవలసిన సంఖ్య (51) ప్రాతిపదిక సంఖ్య(50) కంటే ఎంత ఎక్కువో అన్ని వందలను 2500 కి కలపాలి. అలాగే ఎంత ఎక్కువ ఉందో దాని వర్గాన్ని కూడా ఆ మొత్తానికి కలపాలి. అంటే ౨౫౦౦ కి ఒక వంద కలపాలి. తర్వాత 1 వర్గాన్ని కూడా కలపాలి. ఒకటి వర్గం 1 కనుక మనకు 51 వర్గము = 2500+100+1= 2601 అని సమాధానం వస్తుంది.

అలాగే 52 వర్గము = 2500 + 2*100 + 4 (2 యొక్క వర్గము) = 2704

మరో ఉదాహరణ: 63 వర్గము కనుక్కోవడం. 53 అనేది 50 కంటే 13 ఎక్కువ.

53 మీది వర్గము = 2500 + 13*100 + 169 (13 మీది వర్గము) = 3969

ఇప్పుడు 50 కంటే తక్కువ విలువ ఉన్న సంఖ్యల వర్గము కనుక్కుందాము.

స్టెప్-1. 26 నుంచి 50 వరకు ఉన్న సంఖ్యలకు 50 ని ప్రాతిపదికగా తీసుకోవాలి. 50 వర్గం 2500.

స్టెప్-2. ఇప్పుడు మనం వర్గం కనుక్కోవలసిన సంఖ్యను 26 నుంచి 50 లో ఎంచుకోండి. ఉదాహరణకు 49 అనుకోండి. దాని వర్గం కనుక్కోవాలి అంటే 49 మనం ప్రాతిపదిక గా తీసుకున్న 50 కంటే 1 తక్కువ అనేది గమనించండి.

స్టెప్-3 మనం వర్గం కనుక్కోవలసిన సంఖ్య (49) ప్రాతిపదిక సంఖ్య(50) కంటే ఎంత తక్కువో అన్ని వందలను 2500 నుంచి తీసివేయాలి. అలాగే ఎంత తక్కువ ఉందో దాని వర్గాన్ని మాత్రం ఆ మొత్తానికి కలపాలి. అంటే 2500 నుంచి ఒక వంద తీసివేయాలి. తర్వాత 1 వర్గాన్ని కలపాలి. 1 వర్గం 1 కనుక మనకు 49 వర్గమ్ = 2500-100+1= 2401 అని సమాధానం వస్తుంది.

మరో ఉదాహరణ తీసుకుందాము. 47 కి వర్గము కనుక్కుందాము. 47 అనే సంఖ్య 50 కంటె 3 తక్కువ.

47 మీది వర్గము = 2500 - 3*100+ 9 (3 మీది వర్గము)= 2209

36 మీది వర్గము = 2500-14*100 + 196 (14 మీది వర్గము) = 1296

చూసారుగా ఎంత సులభమో!

ఇప్పుడు 76 నుంది 125 వరకు గల సంఖ్యల వర్గములు కనుక్కునే విధానము తెలుసుకుందాము. ఇక్కడ మనము ప్రాతిపదిక గా 100 తీసుకుందాము. మొదటగా 125 నుంచి 100 లోపు సంఖ్యల వర్గములు కనుక్కునే పద్ధతిని చూద్దాము. యావదధికం తావదధికీకృత వర్గంచ యోజయేత్: అంటే ఎంత ఎక్కువో అంత కలిపి వర్గం కనుక్కోవాలి.

స్టెప్-1. 125 నుంచి 100 వరకు ఉన్న సంఖ్యలకు 100 ని ప్రాతిపదికగా తీసుకోవాలి. 

స్టెప్-2. ఇప్పుడు మనం వర్గం కనుక్కోవలసిన సంఖ్యను 125 నుంచి 100 లో ఎంచుకోండి. ఉదాహరణకు 101 అనుకోండి. దాని వర్గం కనుక్కోవాలి అంటే 101 మనం ప్రాతిపదిక గా తీసుకున్న 100 కంటే 1 ఎక్కువ అనేది గమనించండి.

స్టెప్-3 మనం వర్గం కనుక్కోవలసిన సంఖ్య (101) ప్రాతిపదిక సంఖ్య(100) కంటే ఎంత ఎక్కువో దాన్ని ఆ సంఖ్యకు కలపాలి. అంటే 101 కి 1 కలపాలి. వచ్చిన ఫలితాన్ని 100 తో గుణించాలి. అప్పుడు ఆ సంఖ్య 100 కంటె ఎంత ఎక్కువ ఉందో దాని వర్గాన్ని ఆ మొత్తానికి కలపాలి. అంటే (101+1)*100 = 10200 కి ఒకటి కలపాలి. 

అప్పుడు 101 వర్గము = (101+1)*100+1= 10201 అని సమాధానం వస్తుంది.

మరో ఉదాహరణ 104 తీసుకోండి. ఇది 100 కంటే 4 ఎక్కువ.

104 మీది వర్గము = (104+4)*100+16 (4 మీది వర్గము) = 10816

ఇప్పుడు 76 నుంచి 100 లోపు సంఖ్యల వర్గము కనుక్కునే విధానము చూద్దాము. ఇక్కడ వాడుకునే సూత్రం : యావదూనం తావదూనీకృత్య వర్గంచ యోజయేత్: అంటే ఎంత తక్కువో అంత తక్కువ చేసి వర్గం కనుక్కోవచ్చు!

స్టెప్-1. 75 నుంచి 100 లోపు ఉన్న సంఖ్యలకు 100 ని ప్రాతిపదికగా తీసుకోవాలి. 

స్టెప్-2. ఇప్పుడు మనం వర్గం కనుక్కోవలసిన సంఖ్యను 76 నుంచి 100 లో ఎంచుకోండి. ఉదాహరణకు 99 అనుకోండి. దాని వర్గం కనుక్కోవాలి అంటే 99 మనం ప్రాతిపదిక గా తీసుకున్న 100 కంటే 1 తక్కువ అనేది గమనించండి.

స్టెప్-3 మనం వర్గం కనుక్కోవలసిన సంఖ్య (99) ప్రాతిపదిక సంఖ్య(100) కంటే ఎంత తక్కువో ఆ సంఖ్యను దానినుంచి తీసివేయాలి. అంటే 99 నుంచి 1 తీసివేయాలి. వచ్చిన ఫలితాన్ని 100 తో గుణించాలి. అప్పుడు ఆ సంఖ్య 100 కంటె ఎంత ఎక్కువ ఉందో దాని వర్గాన్ని ఆ మొత్తానికి కలపాలి. అంటే (99-1)*100 = 9800 కి 1 కలపాలి. 

అప్పుడు 99 వర్గము = (99-1)*100+1= 9801 అని సమాధానం వస్తుంది.

మరో ఉదాహరణ 91 తీసుకోండి. ఇది 100 కంటే 9 తక్కువ.

91 మీది వర్గము = (91-6)*100+81 (9 మీది వర్గము) = 8281

మరో ఉదాహరణ తీసుకోండి. 82 కి వర్గము కనుక్కోండి.

88 మీది వర్గము= (88-12)*1 + 144 ( 12 మీది వర్గము) = 7744

ఇప్పుడు ఒక పోటీ పరీక్షలో అడిగిన ఒక సమస్య ని చూద్దాము. XX మీది వర్గము = YYZZ అయితే X+Y+Z = ?  అనే ఆ ప్రశ్నకు సమాధానం చెప్పండి. ఇక్కడ X,Y,Z  లు ఒక్కొక్కటి 0 నుంచి 9 వరకు గల అంకెలు. అవి వేరు వేరు. మీ సమాధానాలు 9553678686 కి వాట్సప్ లో పంపండి.

మరిన్ని టెక్నిక్స్ తో మళ్ళీ కలుసుకుందాము. శలవు.

***