+91 9553678686

వేగ గణితం - వర్గమూలములు


వర్గముల ప్రత్యేక లక్షణాలు:


1 నుంచి 25 వరకు ఉన్న సంఖ్యల వర్గములు నేర్చుకుంటే 26 నుంచి 125 వరకు ఉన్న సంఖ్యల వర్గములు నోటి లెక్కతో చేసే విధానం పోయిన వారం తెలుసుకున్నాము. ఇప్పుడు వర్గములకు సంబంధించిన కొన్ని ప్రత్యేక లక్షణాలను గురించి తెలుసుకుందాము. ఇవన్నీ కూడా పోటీ పరీక్షలలో అడిగే ప్రశ్నలను వేగంగా సాల్వ్ చేయడానికి, సరైన సమాధానాన్ని క్షణాలలో కనుగొనడానికి మీకు చాలా ఉపయోగపడతాయి.
ప్రశ్న: ఒక పోటీ పరీక్షలో ఈ కింది ప్రశ్న అడిగారు. ABCD అనే సంఖ్య ఒక వర్గము. దానిలోని అంకెలు A,B,C,D అయితే  AB, CD  అనునవి కూడా వర్గములే! అంతేకాదు A+B+C+D  కూడా ఒక వర్గమే అయిన ఆ సంఖ్యను కనుగొనుము.
ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం తెలియ చేసే ముందు గతవారం అడిగిన ప్రశ్నకు సమాధానం తెలియచేస్తాను. 
గత వారం ప్రశ్న: 
XX  మీది వర్గము  YYZZ  అయితే X+Y+Z=?. దీని సమాధానం = ౧౯. ఎందుకంటే అలాంటి సంఖ్య ఒక్కటే ఉంది. అది 88 మీది వర్గము=7744.
ఇప్పుడు వర్గములకు ఉన్న కొన్ని ప్రత్యేక లక్షణాలను ఉపయోగించి వర్గములను కనుక్కునే పద్ధతులను చూద్దాం.
ఆఖరు అంకె 5 అయితే:
25, 35, 45, 55... లాంటి సంఖ్యల వర్గములు కనుక్కొనడం చాలా సులభం. ఆఖరున ఉన్న 5 ని మినహాయించి మిగిలిన సంఖ్యను దాని తర్వాత వచ్చే సంఖ్యతోగుణించి దాని పక్కన 25 రాస్తే అదే ఆ సంఖ్యకు వర్గం అవుతుంది. ఉదాహరణకు 25 తీసుకోండి 2*3=6. దాని పక్కన 25 పెడితే 625. అదే 25 కి వర్గము.
35 మీది వర్గము: 3*4=12, 1225 సమాధానం.
45 మీది వర్గము: 4*5=20, 2025 సమాధానం.
...
85 మీది వర్గము: 8*9=72, 7225 సమాధానం.
125 మీది వర్గము: 12*13=156, 15625 సమాధానం.
అలా ఎంతో తేలికగా ఆ వర్గములను కనుక్కోవచ్చును.
ఇక్కడ మనం ఒక వేదగణిత సూత్రాన్ని వాడాము. ఆ సూత్రం "అంత్యయోర్దశకేపి" ఇదే సూత్రాన్ని రెండు అంకెల సంఖ్యలను గుణించేటప్పుడు వచ్చే లబ్ధము కనుక్కోవడానికి కూడా ఆడవచ్చున్ను. అయితే ఆ సంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానం లో ఉన్న అంకెల మొత్తం పది అవ్వాలి, అలాగే పదుల స్థానంలో ఉన్న అంకెలు సమానం అవ్వాలి.
ఉదాహరణకు 44*46. ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న 4,6 ల మొత్తం 10. అలాగే పదుల స్థానంలో ఒకే అంకె(4) ఉంది. ఇక్కడ అంత్యయోర్దశకేపి సూత్రం వాడొచ్చు.
44*46=4*5=20, 4*6=24, సమాధానం = 2024.
అలాగే 52*58 ->30 16; సమాధానం = 3016
63*67 -> 42 21; సమాధానం = 4221 
మరి కొన్ని లక్షణాలు:
ఒకట్లస్థానం లో సున్న ఉంటే దాని వర్గం లో చివరి రెండు అంకెలు రెండూ సున్నలే అవుతాయి. ఉదా. 10 మీది వర్గము =100
అలాగే చివరి అంకె 5 అయితే వర్గములో చివరి రెండు అంకెలు 25 అవుతాయి.
అలాగే చివరి అంకె 6 అయితే వర్గములో పదుల స్థానంలో బేసి అంకె ఉంటుంది. ఉదా. 6, 16,26,36 ల మీది వర్గాలు, 36,256,676, 1296.
వీటిలో పదుల స్థానంలో 3,5,7,9 వరసగా ఉండటం గమనించండి.
అన్నీ ఒకట్లు ఉంటే దాని వర్గము పాలిండ్రోమ్ అవుతుంది
పాలిండ్రోమ్ అంటే ఆ సంఖ్యలో అంకెలు ఎడమ నుంచి కుడి కి చదివినా, కుడి నుంచి ఎడమకు చదివినా ఒక్కలాగే ఉంటాయి.
ఉదా. 11, 111, 1111 ల మీది వర్గములు వరసగా 121, 12321, 1234321 లు వస్తాయి. అంటే ఎన్ని ఒకట్లు ఉన్నాయో అన్ని ఆరోహణ క్రమంలో 1 నుంచి రాయాలి. తర్వాత అవరోహణ క్రమంలో 1 వరకు రాయాలి.
ఉదాహరణకు 11111111 తీసుకోండి. దీనిలో 8 ఒకట్లు ఉన్నాయి. దీని వర్గము రాయడం కోసం మనం 1 నుంచి 8 వరకు ఆరోహణ క్రమంలోనూ తర్వాత అవరోహణక్రమంలో 7 నుంచి ఒకటి వరకు రాయాలి, ఇలా 123456787654321. చాలా తేలికగా ఉంది కదూ.
సమాధానం: పైన ఐఈగిన ప్రశ్నకు సమాధానం ఇప్పుడు తెలుసుకుందాము. 41 మీది వర్గము = 1681. 16, 81, 1+6+8+1=16 కూడా వర్గములే. ఇలాంటి రెండంకెల సంఖ్య ఇదొక్కటే.
డిజిటల్ రూట్ (అంకమూలము):
ఏదైనా సంఖ్యలో ఉన్న అంకెలనన్నిటిని కలపాలి. అలా వచ్చిన సమాధానం ఒక అంకె అయ్యేవరకు వాటిని అలాగే కలపాలి. చిట్ట చివరగా ఒకే అంకె వస్తుంది. దాన్ని అంక మూలము లేదా డిజిటల్ రూట్ అంటాము.
ఉదా. 12345 తీసుకొండి. 1+2+3+4+5=15, 1+5=6. 6 అనేది 12345 కి అంక మూలము.
మరో ఉదా. 223 తీసుకోండి. 2+2+3=7. 223 కి అంక మూలము 7
వర్గముల అంకమూలము 1,4,7,9 లలో ఒకటి మాత్రమే అయిఉంటుంది.
ఒక పోటీ పరీక్షలో ప్రశ్న ఇలా ఉంది. 3335696 వర్గసంఖ్య అవుతుందా?
దీని వర్గమూలము కనుక్కుని అది వర్గమో కాదో కనుక్కునే ప్రయత్నం చేస్తారు కొందరు. కానీ 3335696 అంకమూలము కనుక్కుని తేలికగా సమాధానం కనుక్కోవచ్చు. 3+3+3+5+6+9+6= 35 =3+5=8 అంకమూలము* కాబట్టి (1,4,7,9) లలో లేదు కాబట్టి  3335696 వర్గము కాదు.
మరికొన్ని లక్షణములు: 
(1) సరి సంఖ్యలో ఉన్న వర్గము 4 తో నిశ్శేషముగా భాగించబడుతుంది
ఉదా: 2343534634 అనేది వర్గమా కాదా? ఇది సరిసంఖ్య. ఇది వర్గము కావాలంటే నాలుగుచే నిశ్శేషముగా భాగించబడాలి. దీని ఆఖరు రెండు అంకెల సంఖ్య 34. ఇది 4 చే నిశ్శేషముగా భాగించబడదు అందువలన ఇచ్చిన సంఖ్య కూడా 4 చే నిశ్శేషముగా భాగించబడదు. అందువలన ఇది వర్గము కాదు
(2) రెండు పక్క పక్క సంఖ్యల వర్గముల మధ్య భేదము బేసి సంఖ్య అవుతుంది. అది మొదటి సంఖ్యను రెట్టింపు చేసి దానికి ఒకటి కలిపితే వస్తుంది.
ఉదా: 11, 12 ల వర్గముల మధ్యభేదము 2*11 + 1= 23 (144-121=23)
(3) మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తము n మీది వర్గమునకు సమానము.
ఉదా: 1 నుంచి 25 వరకు ఉన్న బేసి సంఖ్యల వర్గముల మొత్తము ఎంత? సమాధానము 625. (౨౫ మీది వర్గము)
ఏదైనా సంఖ్య యొక్క వర్గములో చివరి రెండు అంకెలు:
ప్రశ్న: 4339 వర్గము లో చివరి రెండు అంకెలను కనుగొనుము. ఇలాంటి సమస్యలను సాల్వ్ చేయడం సులభం. ఎందుకంటే ఆ సంఖ్య చివరలో ఉన్న రెండు అంకెల సంఖ్య యొక్క వర్గము కనుగొనాలి. అంటే 39 వర్గము కనుగొనాలి. అవే అంకెలు 4339 వర్గముకి కూడా చివర రెండు అంకెలుగా ఉంటాయి.
ఇప్పుడు కూడా 39 యొక్క వర్గము కనుగొనకుండానే సమాధానం చెప్పవచ్చును. ఇచ్చిన సంఖ్య 50 కి దగ్గరగా ఉందా, లేక 100 కి దగ్గరగా ఉందా గమనించాలి. 39 అనేది 50 కి దగ్గరగా ఉంది. ఇక్కడ 50 కి 39 కి గల భేదాన్ని కనుగొనాలి. అది 11. దీని వర్గము 121. ఇందులో చివరలో ఉన్న రెండు అంకెలే (21) 39 వర్గములో చివర రెండు అంకెలుగా తెలుసుకోవాలి. అందువలన 4339 వర్గము లో కూడా చివరగా 21 వస్తుంది అనేది సమాధానం.
మరో ఉదాహరణ: 7986 వర్గములో చివరి రెండు అంకెలు ఏవి?
7986 లో చివరి రెండు అంకెలు 86. ఇది 100 కి దగ్గరలో ఉంది. భేదము 100-86=24. దాని వర్గము 576. అందువలన చివరి రెండు అంకెలు = 76. ఇదే సమాధానం.
ప్రశ్న: ABC అనేది వర్గము. BAC, CAB లు కూడా వర్గములే. A>B>C అయితె ABC అంకమూలము ఎంత?
సమాధానం కనుక్కోండి. వచ్చే వారం కలుద్దాము.
***