+91 9553678686

                                                ఘనములు (Cubes)

ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్యచే మూడుసార్లు గుణించగా వచ్చే సంఖ్యను ఆ సంఖ్యయొక్క ఘనము ((Cube) అంటారు.

a3  అనగా a x a x a  అని అర్ధము.

అన్ని పోటీ పరీక్షలలో ఏదో ఒక సందర్భంలో సంఖ్యలయొక్క cube కనుగొనే అవసరం రావచ్చు. సాధారణంగా 1 నుంచి 10 వరకు cubes  నేర్చుకొనవలసి ఉంటుంది. పోటీ పరీక్షలకు సాధారణంగా 993 వరకు మాత్రమే ప్రశ్నలు ఉంటాయి.

ఇప్పుడు  1 నుంచి 10 యొక్క ఘనములు తెలుసుకొని, వీటిని ఉపయోగించి, 11 నుంచి 99 వరకు ఘనములను సులభ పద్ధతిలో కనుగొనే విధానం గమనిద్దాం.

13 = 1 x 1 x 1 .  ఇదే విధంగా 23 =8; 33 =27; 43 =64;  53 = 124; 63 = 216; 73 = 343; 83 = 512;      93 = 729; 103 = 1000.

ఇప్పుడు 11 నుంచి 99 వరకు Cubes గురించి తెలుసుకుందాం.

11 నుంచి 99 వరకు గల సంఖ్యలను ఐదు రకాలుగా విభజిద్దాం.

 

Type 1 : చివర సున్న వచ్చే సంఖ్యలు. అవి 20,30,40,50,…90 మొదలైనవి.

          ఉదా. 1 :  (20)3 = (2x 10)3 = 23 x 103 = 8 x 1000 = 8,000

          ఉదా. 2 : (50)3 = (5x 10)3 = 53 x 103 = 125 x 1000 = 1,25,000

         

Type 2 : 11 నుంచి 19 వరకు గల సంఖ్యలు.

          ఉదా 1 : 123

           Step 1 : నాల్గు విడి సంఖ్యలుగా 13 తో ప్రారంభించి వ్రాయాలి.

 Step 2: ఒకట్ల స్థానంలో అంకె పదుల స్థానంలో అంకెకు రెండు రెట్లు. కావున మొదటి సంఖ్య(13)ని  

          రెండు రెట్లు చేసి రెండవ సంఖ్యను. దానియొక్క రెట్టింపును మూడవ సంఖ్యగా, దాని రెట్టింపును    

           నాల్గవ సంఖ్యగా వ్రాసుకోవాలి.

          అనగా 123 = 1x2   2 x2  4 x2  8   

          Step 3: మధ్యలోని రెండు సంఖ్యలను రెట్టింపు చేసి, ఈ క్రింది విధంగా కూడవలెను.

                  

1

2

4

8

 

     (2x2)

     (4x2)

 

 

4

8

 

1

7

2

8

 

123  = 1,728

          ఉదా 2 : 143

                                     

1

4

16

64

 

     (4x2)

     (16x2)

 

 

8

32

 

2

7

4

4

 

143 = 2,744

 

Type 3 : ఒకట్ల స్థానంలో 1 ఉండే సంఖ్యలు. అవి 21, 31, 41, …. 91

          పై పద్ధతి మాదిరిగానే కాకపోతే చివరి సంఖ్య 13 అనగా 1 గా వ్రాసుకోవాలి.

          ఉదా 1 : (31)3

                                ఇక్కడ పదుల స్థానంలోని అంకె ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెకు 3 రెట్లు. చివరి సంఖ్య 1 గా వ్రాసుకొని

మూడవ సంఖ్య దానికి 3 రెట్లు, రెండవ సంఖ్య దానికి 3 రెట్లు, మొదటి సంఖ్య రెండవ సంఖ్యకు

                   3 రెట్లు వ్రాసుకోవాలి.

                   27  3x3x 3x1

                   మధ్యలోని సంఖ్యలను రెట్టింపు చేసి, క్రింది విధంగా కూడవలెను.

 

                  

27

9

3

1

 

     (9x2)

     (3x2)

 

 

18

6

 

29

7

9

1

 

(31)3 = 29,791

 

Type 4 : ఒకట్ల స్థానంలో పదుల స్థానంలో ఒకే అంకె ఉన్న సంఖ్యలు. అవి 11, 22, 33, 44, … 99

          ఉదా 1 : (55)3

                   మొదటి సంఖ్యగా 53 తీసుకొని రెండు, మూడు, నాల్గు సంఖ్యలుగా కూడా అవే సంఖ్యలు వ్రాసి,

మధ్యలో రెండు సంఖ్యలను రెట్టింపు చేసి,క్రింది విధంగా కూడవలెను.

                   (55)3 =

 

                  

125

125

125

125

 

        (125x2)

      (125x2)

 

 

250

250

 

166

3

7

5

 

(55)3 = 1,66,375