ఘనములు
(Cubes)
ఒక సంఖ్యను అదే
సంఖ్యచే మూడుసార్లు గుణించగా వచ్చే సంఖ్యను ఆ సంఖ్యయొక్క ఘనము ((Cube) అంటారు.
a3
అనగా a x a x a అని అర్ధము.
అన్ని
పోటీ పరీక్షలలో ఏదో ఒక సందర్భంలో సంఖ్యలయొక్క cube కనుగొనే అవసరం రావచ్చు. సాధారణంగా 1
నుంచి 10 వరకు cubes నేర్చుకొనవలసి
ఉంటుంది. పోటీ పరీక్షలకు సాధారణంగా 993 వరకు మాత్రమే ప్రశ్నలు ఉంటాయి.
ఇప్పుడు 1 నుంచి 10 యొక్క ఘనములు తెలుసుకొని, వీటిని ఉపయోగించి, 11 నుంచి 99 వరకు ఘనములను సులభ
పద్ధతిలో కనుగొనే విధానం గమనిద్దాం.
13
= 1 x 1 x 1
. ఇదే విధంగా 23 =8; 33 =27; 43 =64;
53 = 124; 63
= 216; 73 = 343; 83 = 512; 93 = 729; 103 =
1000.
ఇప్పుడు
11 నుంచి 99 వరకు Cubes
గురించి
తెలుసుకుందాం.
11
నుంచి 99 వరకు గల సంఖ్యలను ఐదు రకాలుగా విభజిద్దాం.
Type
1 : చివర సున్న వచ్చే సంఖ్యలు. అవి 20,30,40,50,…90 మొదలైనవి.
ఉదా. 1 : (20)3 = (2x 10)3 = 23
x 103 = 8 x 1000 = 8,000
ఉదా. 2 : (50)3 =
(5x
10)3 = 53 x 103 = 125 x 1000 = 1,25,000
Type
2 : 11
నుంచి 19 వరకు
గల సంఖ్యలు.
ఉదా 1 : 123
Step 1 : నాల్గు
విడి సంఖ్యలుగా 13 తో ప్రారంభించి వ్రాయాలి.
Step 2: ఒకట్ల స్థానంలో అంకె పదుల స్థానంలో అంకెకు రెండు రెట్లు.
కావున మొదటి సంఖ్య(13)ని
రెండు రెట్లు చేసి రెండవ సంఖ్యను.
దానియొక్క రెట్టింపును మూడవ సంఖ్యగా, దాని
రెట్టింపును
నాల్గవ సంఖ్యగా వ్రాసుకోవాలి.
అనగా 123 = 1x2 2 x2
4 x2
8
Step 3: మధ్యలోని రెండు సంఖ్యలను
రెట్టింపు చేసి,
ఈ క్రింది
విధంగా కూడవలెను.
1 |
2 |
4 |
8 |
|
(2x2) |
(4x2) |
|
|
4 |
8 |
|
1 |
7 |
2 |
8 |
∴ 123
= 1,728
ఉదా 2 : 143
1 |
4 |
16 |
64 |
|
(4x2) |
(16x2) |
|
|
8 |
32 |
|
2 |
7 |
4 |
4 |
∴ 143
= 2,744
Type
3 : ఒకట్ల
స్థానంలో 1 ఉండే సంఖ్యలు. అవి 21,
31, 41, …. 91
పై పద్ధతి మాదిరిగానే కాకపోతే చివరి
సంఖ్య 13 అనగా 1 గా వ్రాసుకోవాలి.
ఉదా 1 : (31)3
ఇక్కడ పదుల స్థానంలోని అంకె ఒకట్ల
స్థానంలోని అంకెకు 3 రెట్లు. చివరి సంఖ్య 1 గా వ్రాసుకొని
మూడవ సంఖ్య దానికి 3 రెట్లు, రెండవ సంఖ్య దానికి 3
రెట్లు, మొదటి సంఖ్య రెండవ సంఖ్యకు
3 రెట్లు
వ్రాసుకోవాలి.
27 3x9 3x 3 3x1
మధ్యలోని
సంఖ్యలను రెట్టింపు చేసి, క్రింది విధంగా కూడవలెను.
27 |
9 |
3 |
1 |
|
(9x2) |
(3x2) |
|
|
18 |
6 |
|
29 |
7 |
9 |
1 |
∴ (31)3 = 29,791
Type
4 : ఒకట్ల
స్థానంలో పదుల స్థానంలో ఒకే అంకె ఉన్న సంఖ్యలు. అవి 11, 22, 33, 44, … 99
ఉదా 1 : (55)3
మొదటి
సంఖ్యగా 53 తీసుకొని రెండు, మూడు, నాల్గు సంఖ్యలుగా కూడా అవే
సంఖ్యలు వ్రాసి,
మధ్యలో రెండు సంఖ్యలను రెట్టింపు
చేసి,క్రింది విధంగా కూడవలెను.
(55)3 =
125 |
125 |
125 |
125 |
|
(125x2) |
(125x2) |
|
|
250 |
250 |
|
166 |
3 |
7 |
5 |
∴ (55)3 = 1,66,375