వేగ గణితం - ఘనములు

                                                ఘనములు (Cubes)

ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్యచే మూడుసార్లు గుణించగా వచ్చే సంఖ్యను ఆ సంఖ్యయొక్క ఘనము ((Cube) అంటారు.

a³  అనగా a x a x a  అని అర్ధము.

అన్ని పోటీ పరీక్షలలో ఏదో ఒక సందర్భంలో సంఖ్యలయొక్క cube కనుగొనే అవసరం రావచ్చు. సాధారణంగా 1 నుంచి 10 వరకు cubes  నేర్చుకొనవలసి ఉంటుంది. పోటీ పరీక్షలకు సాధారణంగా 99³ వరకు మాత్రమే ప్రశ్నలు ఉంటాయి.

ఇప్పుడు  1 నుంచి 10 యొక్క ఘనములు తెలుసుకొని, వీటిని ఉపయోగించి, 11 నుంచి 99 వరకు ఘనములను సులభ పద్ధతిలో కనుగొనే విధానం గమనిద్దాం.

1³ = 1 x 1 x 1 .  ఇదే విధంగా 2³ =8; 3³ =27; 4³ =64;  5³ = 124; 6³ = 216; 7³ = 343; 8³ = 512;      9³ = 729; 10³ = 1000.

ఇప్పుడు 11 నుంచి 99 వరకు Cubes గురించి తెలుసుకుందాం.

11 నుంచి 99 వరకు గల సంఖ్యలను ఐదు రకాలుగా విభజిద్దాం.

 

Type 1 : చివర సున్న వచ్చే సంఖ్యలు. అవి 20,30,40,50,…90 మొదలైనవి.

          ఉదా. 1 :  (20)³ = (2x 10)³ = 2³ x 10³ = 8 x 1000 = 8,000

          ఉదా. 2 : (50)³ = (5x 10)³ = 5³ x 10³ = 125 x 1000 = 1,25,000

         

Type 2 : 11 నుంచి 19 వరకు గల సంఖ్యలు.

          ఉదా 1 : 12³

           Step 1 : నాల్గు విడి సంఖ్యలుగా 1³ తో ప్రారంభించి వ్రాయాలి.

 Step 2: ఒకట్ల స్థానంలో అంకె పదుల స్థానంలో అంకెకు రెండు రెట్లు. కావున మొదటి సంఖ్య(1³)ని  

          రెండు రెట్లు చేసి రెండవ సంఖ్యను. దానియొక్క రెట్టింపును మూడవ సంఖ్యగా, దాని రెట్టింపును    

           నాల్గవ సంఖ్యగా వ్రాసుకోవాలి.

          అనగా 12³ = 1^x2   2 ^x2  4 ^x2  8   

          Step 3: మధ్యలోని రెండు సంఖ్యలను రెట్టింపు చేసి, ఈ క్రింది విధంగా కూడవలెను.

                  

1	2	4	8
	(2x2)	(4x2)
	4	8
1	7	2	8

 

∴ 12³  = 1,728

          ఉదా 2 : 14³

                                     

1	4	16	64
	(4x2)	(16x2)
	8	32
2	7	4	4

 

∴ 14³ = 2,744

 

Type 3 : ఒకట్ల స్థానంలో 1 ఉండే సంఖ్యలు. అవి 21, 31, 41, …. 91

          పై పద్ధతి మాదిరిగానే కాకపోతే చివరి సంఖ్య 1³ అనగా 1 గా వ్రాసుకోవాలి.

          ఉదా 1 : (31)³

                                ఇక్కడ పదుల స్థానంలోని అంకె ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెకు 3 రెట్లు. చివరి సంఖ్య 1 గా వ్రాసుకొని

మూడవ సంఖ్య దానికి 3 రెట్లు, రెండవ సంఖ్య దానికి 3 రెట్లు, మొదటి సంఖ్య రెండవ సంఖ్యకు

                   3 రెట్లు వ్రాసుకోవాలి.

                   27  ^3x9  ^3x 3  ^3x1

                   మధ్యలోని సంఖ్యలను రెట్టింపు చేసి, క్రింది విధంగా కూడవలెను.

 

                  

27	9	3	1
	(9x2)	(3x2)
	18	6
29	7	9	1

 

∴ (31)³ = 29,791

 

Type 4 : ఒకట్ల స్థానంలో పదుల స్థానంలో ఒకే అంకె ఉన్న సంఖ్యలు. అవి 11, 22, 33, 44, … 99

          ఉదా 1 : (55)³

                   మొదటి సంఖ్యగా 5³ తీసుకొని రెండు, మూడు, నాల్గు సంఖ్యలుగా కూడా అవే సంఖ్యలు వ్రాసి,

మధ్యలో రెండు సంఖ్యలను రెట్టింపు చేసి,క్రింది విధంగా కూడవలెను.

                   (55)³ =

 

                  

125	125	125	125
	(125x2)	(125x2)
	250	250
166	3	7	5

 

∴ (55)³ = 1,66,375